上次写乘法学习，写到学完九九乘法表之后，乘法计算会向更大的数字进阶：两位数乘一位数——两位数乘两位数——多位数乘法；也提到在这个过程里，有两个关键点很重要：一是数形结合，或者说乘法的几何意义会开始非常重要，二是乘法竖式，特别是对乘法竖式每个步骤、每步结果写法的理解。和大家说好的，两个关键点要分别写一写。

这一篇，就先交第一份小作业：乘法里的数形结合。

(资料图)

乘法里的数形结合，就是乘法的数字算式，和表示算式的方格图或圆点图相结合，通过直观的图形和几何呈现，来加深对算式和计算过程的理解。这是学习乘法的过程里，容易被忽视、但又非常精彩的风景。

具体来讲，它可以帮助小朋友更好地理解乘法交换律和结合律、两位数乘两位数的计算过程、部分乘法巧算的原理等，除此之外，数形结合包含的乘法的几何意义，对之后孩子理解面积计算也很有帮助。

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从学习九九乘法表起

就可以引入方格图或圆点图

我和豆豆正儿八经用到方格图是在让他尝试两位数乘两位数的时候（后文会详细写）。后来我想了一下，觉得方格图或是圆点图其实在学习九九乘法表的时候就可以引入。

这样有两个好处：一是从最简单的情况开始学习乘法方格图的意义，这样到两位数乘法要讨论要用的时候，不会太突兀；另一个是乘法交换律的引导可以一起完成。

从学习九九乘法表的时候引入方格图，比如5×7，这里5对应什么，7对应什么。

很自然地，把5×7和7×5的图形放在一起看，就可以帮助孩子理解为什么5×7等于7×5，也就是乘法交换律。

对了，还有一点也很重要。

就是如果孩子还在幼儿园，还没有系统学习九九乘法表，但想启蒙一下乘法的含义，我觉得用积木或棋子会更好，实物更形象、也更方便操作；如果孩子已经一升二，那么在纸上直接画方格图会更加合适，这个阶段可以引导孩子慢慢离开对实物的依赖。

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两位数乘一位数：

用数形结合辅助理解算理+乘法分配律学习

学完九九乘法表，接下来是两位数乘一位数的乘法。

学校讲这部分内容的时候，是把两位数乘一位数的乘法拆分成几个几和几个几相加。比如14×6，就是14个6，可以拆分成10个6加4个6，也可以拆分成7个6加7个6。

结合方格图的话就是：

可以看到，拆分成几个几和几个几相加，实际上就是对长方形进行分割，分割后的两个部分可以分别用表内乘法（再加上10的乘法）进行计算，然后把两部分加起来就可以得到两位数乘一位数的计算结果。这里用数形结合的方法，可以很形象地和孩子展示“拆分成几个几和几个几相加”的算理。

不仅如此，小朋友学到这部分的时候，其实还可以完成乘法分配率的学习。

乘法分配率是说，两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，然后再相加。用代数式表示就是（a+b）×c=a×c+b×c

本质上和上面“两位数乘一位数，拆分成几个几和几个几相加”的过程是一样的。

都讲到这里了，乘法分配律的逆运用也可以一起引入。

逆运用就是分配律的过程反一反：a×c+b×c=（a+b）×c，也就是提取公因数。和孩子讲的时候，用具体数字会更容易接受一些。

比如3×7+7×7=（3+7）×7

从图形上来看，如果说乘法分配律是对长方形进行分割，那么分配律的逆运用就是对长方形进行拼接。

埋一个伏笔，乘法分配律和它的逆运用在乘法巧算里会有很多应用哦！

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两位数乘两位数：一个重要的图形

豆豆刚会两位数乘一位数乘法的时候，我有给了他一个小小的挑战，让他试着算一下12×14等于几。

结果我看到，小朋友在草稿纸上是这么写的：

12×14=(10+2)×(10+4)=10×10+2×4=100+8=108

我能明白豆豆的意思。算两位数乘一位数的时候，是把两位数拆分成几个几和几个几相加，这会儿两个因数都是两位数了，小朋友也想着要把这个办法“迁移”过来。可惜完美掉到坑里。

我和豆豆讲，如果只能拆一个因数，再算算看。

豆豆选择拆12，这次他是这么写的：

12×14=(10+2)×14=10×14+2×14=140+28=168

诶？怎么差那么多，两次计算结果不一样啊？

于是，我在纸上画了一个图。12×14就是12个14，也就是一行14个小方块的话，有12行，这里有多少个小正方形，12×14就等于多少。

然后，我按照豆豆第一次的拆分画图。12=10+2，就在行的方向按照10+2画一条横线；14=10+4，就在列的方向按照10+4画一条竖线。这样，一个长方形被划分成了四个部分。

利用这张图，我和豆豆说明了他第一次的计算方法里，实际上只计算了左上角和右下角两个部分，还少算两个长方形。

豆豆看了这张图，也马上知道了问题所在，少算的两个长方形包含的小方格分别是4×10和10×2，加上这两部分的话，第一次的结果就和第二次一样了。

所以，在两位数乘两位数的数形结合图里，上面这个长方形被分割成4个部分的图非常重要。它可以帮助小朋友理解为什么诸如12×14=(10+2)×(10+4)=10×10+2×4这样的计算方法是不对的，以及不对在哪里，进而加深对两位数乘两位数计算的理解。

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两个两位数乘法的巧算

基于上面这个重要图形，还可以衍生出两个两位数乘法的巧算。

前文有提到，乘法分配律和分配律的逆运算，在数形结合的方格图里，本质就是对长方形的分割和拼接。而这里要写的两个乘法巧算方法，实际上就是对这个本质的应用。

1. 个位数是5的两位数平方的巧算

这个巧算方法一个月前我有专门写过一篇文章。这里再提到它，或许大家就更清楚它在乘法学习里的大致位置啦。

结论是：个位数是5的两位数的平方，计算的时候不需要列竖式，按下面两个步骤，2秒钟可以算出答案：

1. 两个因数个位数字相乘，即5×5=25，写在低位；

2. 十位上的数字×(十位上的数字+1)，写在高位。

合起来的三位数/四位数就是相应乘法的答案。

比如35×35，答案就是1225.

具体的原理我就不重复写了哦，请点下面的链接：

为了讲清楚一个两位数乘法巧算的原理，我给豆豆做了一个动画小视频

这其中最关键的一步，就是在上面“一个长方形划分成四个部分”这个重要图形的基础上，做下面的分割+拼接。

因为两个因数的十位数相同，所以按照上面的方法拼接后宽正好一样，可以形成一个新的长方形；又因为两个因数的个位数都是5，5+5=10，正好凑整进位，所以新长方形的长=（十位数字+1）×10

完整的巧算小动画已经发在视频号上。

2. 十位数相同，个位数相加等于10的两位数乘法巧算

上面的这个巧算方法还可以推广到更一般的情形：十位数相同，个位数相加等于10的两位数相乘，也可以用类似的方法快速计算。

结论是：十位数相同，个位数相加等于10的两位数相乘，速算方法：

1. 两个因数个位数字相乘，写在低位（占两个数位）；

2. 十位上的数字×(十位上的数字+1)，写在高位。

合起来的三位数/四位数就是相应乘法的答案。

比如12×18=216；23×27=621；54×56=3024

这里有一点需要注意，就是两个因数个位数字相乘结果占两个数位，如果不满两个数位要用0补足。比如11×19，个位1×9=9，要写成09，十位1×（1+1）=2，所以结果是209。

原理和上一个巧算一样。因为两个因数的十位数相同，所以分割+拼接后宽正好一样，可以形成一个新的长方形；又因为两个因数的个位数相加等于10，正好凑整进位，所以新长方形的长=（十位数字+1）×10。

写到这里，大家会发现前一个巧算其实是“十位数相同，个位数相加等于10的两位数乘法巧算”的特例。

（关键步骤特意演示了2遍哈）

以上这些，差不多就是数形结合在学习乘法计算时候的妙用啦！

最后特别想写的一点是，如果大家用的是小方格图，那么除了乘法计算，它还有一个特别的好处，就是为之后孩子理解面积计算也做了个小小的铺垫。

面积是又一个小朋友将要学习的连续量，和别的连续量一样，度量它需要用到“单位”。通常我们是选择单位小正方形来定义单位面积，就是上面的小方格的样子。

长方形面积等于长×宽，本质是这个长方形的封闭图形里包含了这么多个单位小正方形，正方形、三角形、平行四边形的面积计算其实也一样。

从这个角度来讲，乘法里的数形结合，也是乘法的几何意义，和之后的面积学习会有千丝万缕的关系。

总之，在学习乘法计算的过程里，千万不要错过数形结合这道精彩的风景呀~